来源：Song 等，2021，arXiv:2011.13456，ICLR 2021。本节只做一件事：把整篇论文铺在你已知的版图上（公式从第 1 节开始）。 记号：本节是地图，为从你已会的知识搭桥，沿用 DDPM/DDIM 符号 $\bar\alpha_t$（累积量，论文写作 $\alpha_i:=\prod_{j\le i}(1-\beta_j)$）与 $\bar x$（VE 坐标，论文直接在 $x$ 上用 $\sigma(t)$）。从第 1 节起正文一律用论文符号；凡需要 DDPM 帮助理解处，都会当场标明「这是 DDPM 记号」。 读法：本节是地图。读完你应当能说出「这篇论文里，哪些是我已经会的老朋友换了身衣服、哪些才是真新东西」。 --- ## §0.1 一句话定位 这篇论文做的事：**把「加噪—去噪」从你熟的离散 $T$ 步搬到连续时间 $t\in[0,T]$，用一个随机微分方程（SDE）统一描述；并指出反向生成只需要一个量，score。**两条历史上分开的线（你会的 DDPM/DDIM，和你没正式学的 NCSN）在这里汇成一条河，而 DDPM、DDIM 都成了它的特例。 --- ## §0.2 三个「其实你已经会」的锚点 这一步：先按住焦虑，**这篇论文对你全新的内容，比看上去少得多。**三个最硬的地方，你其实已经站在门里了。 锚点一 · 概率流 ODE + 欧拉，你亲手验证过。 你在 DDIM 那节已经证明：确定性 DDIM（$\eta=0$）就是某条 ODE 的一阶欧拉离散，跳步 = 大步长欧拉。本论文的核心对象之一「概率流 ODE」（后面式13）就是把你那条 ODE 推广到任意 SDE。读到那里时，你是在认出老朋友。 锚点二 · 你的 $\bar x$ 坐标，就是论文里的另一条河 VE。 你 DDIM 里用的 $\bar x = x/\sqrt{\bar\alpha}$、$\sigma=\sqrt{(1-\bar\alpha)/\bar\alpha}$，恰好就是本论文 VE 过程的坐标。你早就在 VE 坐标里跑过代码，只是没人告诉你那条河叫 VE。（严格推导留到第2、3节。） 锚点三 · 你训的 $\varepsilon$ 网络，本质是 score 网络。 你 DDPM 预测的 $\varepsilon$，和本论文的核心量 score，只差一个标量系数。所以你**已经训过一个 score 模型**了。（精确系数第1节推。） 结论：**真正要从零学的只有两块，① NCSN/VE 那条线的训练目标和采样（Langevin）；② 把这一切写成连续时间 SDE 的形式语言。**其余都是你已有知识的推广或换装。 --- ## §0.3 一块总牌子：两条河是两个不同的东西 ⚠️ 你历史上栽过 VP↔VE 的混。先把牌子立这儿，后面每次出现都回看： > [!example] 两条河 · 一座桥（DDPM／NCSN 锚点） > VP（variance preserving）：DDPM/DDIM 那条线。加噪时信号被 $\sqrt{\bar\alpha}$ 缩小、噪声补进来，总方差守恒。 > VE（variance exploding）：NCSN。加噪时信号原样保留，噪声标准差 $\sigma$ 一路涨到很大，总方差爆炸。 > 桥：$\bar x = x/\sqrt{\bar\alpha}$。对 VP 的状态除以信号系数，就落到 VE 坐标。同一个过程，两种坐标。 --- ## §0.4 天际线预览（这些式子第3–6节才推，先混个脸熟） 下面四个量是全篇的地标。现在只要知道它们长在哪、对应哪一节。 > [!danger]- 四个地标（论文式预览，第一遍可不看） > 前向 SDE（把加噪写成连续时间），第3节： > $\mathrm{d}x = f(x,t)\,\mathrm{d}t + g(t)\,\mathrm{d}w$ > 反向 SDE（反着跑，只多一个 score），第4节： > $\mathrm{d}x = \big[\,f(x,t) - g(t)^2\,\nabla_x\log p_t(x)\,\big]\mathrm{d}t + g(t)\,\mathrm{d}\bar w$ > 概率流 ODE（同样的边缘，但确定性；你的主场），第6节： > $\mathrm{d}x = \big[\,f(x,t) - \tfrac{1}{2}g(t)^2\,\nabla_x\log p_t(x)\,\big]\mathrm{d}t$ > score（唯一要学的量），第1节： > $s_\theta(x,t) \approx \nabla_x\log p_t(x)$ 看出来没有：**反向 SDE 和概率流 ODE，除了 score 都是前向 SDE 的 $f$、$g$ 白送的**；两者唯一的差别是 $g^2$ 前的系数（$1$ 还是 $\tfrac12$）和有没有那个随机项 $\mathrm{d}\bar w$。这就是后面所有内容的骨架。 --- ## §0.5 第一遍只抓三件事 1. score 是什么（第1节）。 2. VP / VE / sub-VP 三种 SDE 怎么对应你已学的（第2、3节）。 3. 概率流 ODE 怎么让 DDPM/DDIM 变成特例（第6节）。 其余（反向 SDE 的严格性、PC 采样、架构、可控生成）第一遍当背景走过即可。 --- ## §0.6 十二节路径 - 第0节 入口重定向 ← 你在这 - 第1节 score 是什么 - 第2节 VE / NCSN（你的 $\bar x$ 就是 VE） - 第3节 前向 SDE（DDPM→VP，NCSN→VE，sub-VP） - 第4节 反向 SDE（只缺 score） - 第5节 训 score（连续时间训练目标） - 第6节 概率流 ODE（DDIM 是它的特例） - 第7节 PC 采样 + Langevin - 第8节 似然与隐空间编辑（概率流 ODE 的两个红利） - 第9节 架构改进 + 结果 - 第10节 可控生成 + 逆问题（补全／上色；下单元 CFG 的桥） - 第11节 总结与覆盖率 --- ## 本节一条线 这篇论文把离散扩散搬进连续时间的 SDE，统一 VP（你会的）和 VE（NCSN）两条河，反向生成只靠 score。你已经握着三个锚点，概率流 ODE+欧拉、$\bar x$=VE 坐标、$\varepsilon$ 网络=score 网络，所以最硬的第一道坎，你已进门一半。下一节先把「score 是什么」钉死。