# Itô 引理 > [!abstract] 先建立概念,伊藤引理是什么 > **伊藤引理是一个数学上的求导工具,链式法则(02)的强化版。** > 链式法则干的事是,已知里头的 $x$ 怎么变,求外头套着的函数(比如 $x^2$、$\sqrt{x}$)跟着怎么变。伊藤干的是同一件事,只是适用范围更广。 > 链式法则默认 $x$ 平稳地走。伊藤对付的 $x$ 走得不平稳,每步除了朝一个方向挪,还随机抖动一下。这个抖动是个随机动作,衡量它一步多大要用标准差,而标准差带一个根号,正是这个根号让求导时多出一项。伊藤就是把这一项补上的强化版。$x$ 不抖时,伊藤缩回普通链式法则。这一节把这一项找出来。 > [!abstract] 一、扩散里的 $x$,一步是怎么走的 > 先把「抖着走」写成式子。$x$ 走一小步,记作 $\mathrm{d}x$,它由两块组成(16): > $\mathrm{d}x=f\,\mathrm{d}t+g\,\mathrm{d}w$ > $f\,\mathrm{d}t$,朝一个方向确定地挪一点,$f$ 是这块的系数。 > $g\,\mathrm{d}w$,随机地抖一点,$g$ 是这块的系数,$\mathrm{d}w$ 是这一小步抖的量(15 那个累计噪声的一小步)。 > 所以一步 = 确定挪 + 随机抖。求导规则要变,就因为多了「随机抖」这块。 > [!abstract] 二、$x$ 走一步,函数 $h(x)$ 跟着变多少 > 看一个函数 $h(x)$,它跟着 $x$ 变。$x$ 走一小步 $\mathrm{d}x$,$h$ 跟着变的量记作 $\mathrm{d}h$。 > $h$ 跟着变多少,有一个完整的展开式(叫泰勒展开,先接受这个形状): > $\mathrm{d}h=h'(x)\,\mathrm{d}x+\tfrac12 h''(x)\,(\mathrm{d}x)^2+\cdots$ > 第一块 $h'(x)\,\mathrm{d}x$(一阶导数乘步子),第二块 $\tfrac12 h''(x)\,(\mathrm{d}x)^2$(二阶导数乘步子的平方),后面还有更高的。 > > 普通情形,$(\mathrm{d}x)^2$ 这种二阶项求导时丢掉,只剩第一块: > $\mathrm{d}h=h'(x)\,\mathrm{d}x$ > 这就是普通链式法则,你以前用的就是它。 > > 接下来把 $x$ 换成「抖着走」的。一旦 $x$ 抖着走,那个 $(\mathrm{d}x)^2$ 就不能丢了,第二块冒出来,普通链式法则不够用。第二块正是伊藤要补的那一项。 > [!abstract] 三、$x$ 抖着走时,$(\mathrm{d}x)^2$ 丢不掉 > 算抖着走时 $(\mathrm{d}x)^2$ 等于多少。把 $\mathrm{d}x=f\,\mathrm{d}t+g\,\mathrm{d}w$ 代进去平方(完全平方 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$): > $(\mathrm{d}x)^2=f^2(\mathrm{d}t)^2+2fg\,(\mathrm{d}t\,\mathrm{d}w)+g^2(\mathrm{d}w)^2$ > 冒出三个乘积。求导时,$(\mathrm{d}t)^2$ 这种丢、$\mathrm{d}t$ 这种留,这是你熟的。逐个看。 > 这里要用 $\mathrm{d}w$ 一步多大。$\mathrm{d}w$ 是随机抖动,衡量它一步多大用标准差,标准差是 $\sqrt{\mathrm{d}t}$(15),带一个根号。 > $(\mathrm{d}t)^2$,丢: > $(\mathrm{d}t)^2=0$ > $\mathrm{d}t\,\mathrm{d}w$,是 $\mathrm{d}t$ 乘 $\sqrt{\mathrm{d}t}$,比 $\mathrm{d}t$ 还小,丢: > $\mathrm{d}t\,\mathrm{d}w=0$ > $(\mathrm{d}w)^2$,是 $\sqrt{\mathrm{d}t}$ 平方,根号一平方掉了,变回 $\mathrm{d}t$,是该留的那档,留: > $(\mathrm{d}w)^2=\mathrm{d}t$ > 三个代回去,前两个是 $0$,只剩第三个: > $(\mathrm{d}x)^2=g^2(\mathrm{d}w)^2=g^2\,\mathrm{d}t$ > **这就是要害,普通情形 $(\mathrm{d}x)^2$ 丢掉,$x$ 抖着走后它等于 $g^2\,\mathrm{d}t$、丢不掉。**直接原因是 $\mathrm{d}w$ 那个根号,平方一下掉了根号、变回 $\mathrm{d}t$。 > [!abstract] 四、把这一项补回去,得到伊藤引理 > 回到第二张那个完整展开式,留到 $(\mathrm{d}x)^2$ 这一块: > $\mathrm{d}h=h'(x)\,\mathrm{d}x+\tfrac12 h''(x)\,(\mathrm{d}x)^2$ > 第一块代 $\mathrm{d}x=f\,\mathrm{d}t+g\,\mathrm{d}w$,第二块代刚算出的 $(\mathrm{d}x)^2=g^2\,\mathrm{d}t$: > $\mathrm{d}h=h'(x)\,(f\,\mathrm{d}t+g\,\mathrm{d}w)+\tfrac12 h''(x)\,g^2\,\mathrm{d}t$ > 按 $\mathrm{d}t$、$\mathrm{d}w$ 收拢: > $\mathrm{d}h=\Big(h'(x)\,f+\tfrac12 h''(x)\,g^2\Big)\mathrm{d}t+h'(x)\,g\,\mathrm{d}w$ > 这就是伊藤引理,给抖着走的 $x$ 上的函数 $h$ 求导的规则。**跟普通链式法则 $\mathrm{d}h=h'(x)\,\mathrm{d}x$ 比,多出来的是中间那块 $\tfrac12 h''(x)\,g^2\,\mathrm{d}t$,叫伊藤修正项,它就是 $(\mathrm{d}x)^2$ 丢不掉留下来的。**$x$ 不抖($g=0$)时,这块变回 $0$,退回普通链式法则。 > [!abstract] 五、一句话理清,多出那项的根在哪 > 多出来的修正项,直接原因是 $\mathrm{d}w$ 带的那个根号。一条链顺下来: > $x$ 抖动,是个随机动作。衡量这个随机动作一步多大,要用标准差。标准差是方差开根号,所以带一个根号,$\mathrm{d}w$ 的大小是 $\sqrt{\mathrm{d}t}$。 > 这个根号一平方,$(\mathrm{d}w)^2=(\sqrt{\mathrm{d}t})^2=\mathrm{d}t$,掉了根号、变回 $\mathrm{d}t$ 这一档,所以二阶项丢不掉。 > 丢不掉的这块,就是修正项。 > 所以根号才是直接原因,抖动是它的来源,抖动是随机动作、必须用带根号的标准差来量,根号就这么进来的。公式里你直接看到根号在起作用,根号背后站着的是抖动这个动作。 > [!note]- 为什么 $(\mathrm{d}w)^2$ 写成确定的 $\mathrm{d}t$ > 先点出一个蹊跷的地方。前面第三张写了 $(\mathrm{d}w)^2=\mathrm{d}t$。可 $\mathrm{d}w$ 是随机抖动,按理它的平方 $(\mathrm{d}w)^2$ 每次也该是随机的、跳来跳去的值。而等号右边的 $\mathrm{d}t$ 是确定的一小步时间,不随机。一个随机的东西,怎么能写成等于一个确定的东西。这张卡回答这个。 > > 答案是,$(\mathrm{d}w)^2$ 虽然单次随机,但它平均下来正好是 $\mathrm{d}t$,而且它的浮动小到可以丢。 > 平均下来是 $\mathrm{d}t$,因为 $\mathrm{d}w$ 中心 $0$、方差 $\mathrm{d}t$,而方差的定义就是「$\mathrm{d}w$ 平方的平均」,所以 $(\mathrm{d}w)^2$ 的平均 = 方差 = $\mathrm{d}t$。 > 浮动可以丢,因为单次的 $(\mathrm{d}w)^2$ 在 $\mathrm{d}t$ 上下跳动的那点幅度,是 $(\mathrm{d}t)^2$ 那一档,比 $\mathrm{d}t$ 还小,本来就在丢的范围里。 > 所以把随机的 $(\mathrm{d}w)^2$ 直接写成确定的 $\mathrm{d}t$,丢掉的只是更小一档的浮动,不影响结果。这就是一个随机的东西能当确定值用的原因。 > [!question]- 练习 > 一,$(\mathrm{d}w)^2$、$\mathrm{d}t\,\mathrm{d}w$、$(\mathrm{d}t)^2$ 各等于什么。 > 二,伊藤引理比普通链式法则,多哪一项。 > 三,$g=0$($x$ 不抖)时,伊藤引理变成什么。 > [!note]- 练习答案 > 一,$(\mathrm{d}w)^2=\mathrm{d}t$,$\mathrm{d}t\,\mathrm{d}w=0$,$(\mathrm{d}t)^2=0$。 > 二,多一块修正项 $\tfrac12 h''(x)\,g^2\,\mathrm{d}t$,是 $(\mathrm{d}w)^2=\mathrm{d}t$ 留下来的。 > 三,剩 $\mathrm{d}h=h'(x)\,f\,\mathrm{d}t$,普通链式法则。 > [!note]- 和主线(扩散)的关系 > 伊藤引理是「给抖着走的量求导」的规则。扩散的前向、反向都是这种抖着走的过程,要从已知的 $x$ 怎么变、推出某个相关量怎么变,靠的就是它。论文里凡是对这种随机过程做变量替换、求某个量怎么演化,背后都是这条。