# 积分基础 求导是「给函数,求导数」。**积分反过来:「给导数,找回原函数」。**你大概已经有积分是「累加、面积」的直觉,这一篇补上另一半:怎么把它真正算出来。 顺序由浅入深:**先认清积分和求导的正反关系、学会把原函数找出来(幂、常数、指数函数),再给积分加上下限、把它落成一个具体的数,最后看反方向——对一个积分求导会得到什么。** > [!note]- 积分变量用哪个字母都一样 > 下面有时写 $\int\dots\mathrm{d}s$、有时 $\int\dots\mathrm{d}t$ 或 $\mathrm{d}x$。$\mathrm{d}$ 后面那个字母只是说「对谁积分」,换个字母不改变任何结果。看到 $s$、$t$、$x$ 别慌,是同一回事。 > [!abstract] 一、求导和积分是一对正反操作 > 摆一个原始函数当例子,用 $s^2$。拿它走一个来回。 > 第一步,对 $s^2$ 求导,得到导数 $2s$: > $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}s^2=2s$ > 第二步,对 $2s$ 积分,又变回 $s^2$: > $\int 2s\,\mathrm{d}s=s^2$ > 转一圈回到起点。积分是求导的反操作,一来一回正好抵消。 > 所以积分干的事就是:给你一个导数(像 $2s$),把它对应的原始函数(像 $s^2$)找回来。找回的那个函数叫原函数。 > [!abstract] 二、原函数不止一个:末尾的 +C > 常数求导是 $0$。所以在原函数后面加任何一个常数,导数都不变:$s^2$、$s^2+1$、$s^2+7$ 求导都是 $2s$。 > 这说明「导数是 $2s$」的原函数有一整族,彼此差一个常数。把这个还没定的常数写成 $+C$: > $\int 2s\,\mathrm{d}s=s^2+C$ > 没写上下限的积分(不定积分),结果都要带 $+C$,漏了就错。解 ODE 时,正是这个 $C$ 用初始条件定出来。 > (为了看清「升一阶、除系数」这些规律,下面几张推导先把 $+C$ 省着写,最后再补。) > [!abstract] 三、算幂的积分($\tfrac12$、$\tfrac13$ 从哪来) > 目标 $\int s\,\mathrm{d}s$:找一个原函数,它求导正好得 $s$(也就是 $s^1$)。 > 求导时指数会掉到前面当系数、指数本身减 $1$。要让求导后是 $s^1$,原函数的指数得高一阶、是 $2$,所以是 $s^2$ 这一类。对 $s^2$ 求导: > $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}s^2=2s$ > 多了个掉下来的 $2$。想让结果干净是 $s$,就在前面除掉这个 $2$,用 $\tfrac12 s^2$: > $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\Big(\tfrac12 s^2\Big)=\tfrac12\cdot 2s=s$ > 所以 > $\int s\,\mathrm{d}s=\tfrac12 s^2+C$ > 那个 $\tfrac12$ 就是「除掉求导时掉下来的指数 $2$」。 > 同样办法,$\int s^2\,\mathrm{d}s$:原函数指数高一阶是 $3$,对 $s^3$ 求导得 $3s^2$,除掉 $3$,得 $\tfrac13 s^3$。 > 规律:积分一个幂,指数升一阶、再除掉那个新指数。通式 > $\int s^n\,\mathrm{d}s=\dfrac{s^{n+1}}{n+1}+C$ > [!abstract] 四、常数和系数 > (1) 积分一个常数。 原函数写成 $c\,s$($s$ 是变量,$c$ 是常数)。求导,$c$ 提着不动、$s$ 求导得 $1$: > $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(c\,s)=c\cdot 1=c$ > 反过来,$c$ 的积分就是 $c\,s$: > $\int c\,\mathrm{d}s=c\,s+C$ > 例:$\int 5\,\mathrm{d}s=5s+C$。 > 记一个画面:常数的原函数是「常数 × 变量」,正好是一块矩形面积(高 $c$、宽 $s$)。 > > (2) 系数能提到积分外面。 对 $s^2$ 求导得 $2s$,所以 $\int 2s\,\mathrm{d}s=s^2$。这跟「把系数 $2$ 提出去再算」一致: > $\int 2s\,\mathrm{d}s=2\int s\,\mathrm{d}s=2\cdot\tfrac12 s^2=s^2$ > 所以 $\int c\,f(s)\,\mathrm{d}s=c\int f(s)\,\mathrm{d}s$。 > [!abstract] 五、指数函数的积分 $\int e^{as}\,\mathrm{d}s$ > 核心结果: > $\int e^{as}\,\mathrm{d}s=\dfrac{1}{a}e^{as}+C$ > 一句话记法:对 $e^{as}$ 求导,链式法则会乘一个内层导数 $a$;积分是反操作,就把这个 $a$ 除回去,也就是前面乘 $\dfrac{1}{a}$。求导往里乘什么,积分就往外除什么。 > > 例一 $\int e^{-\beta s}\,\mathrm{d}s$。系数 $a=-\beta$,前面乘 $\dfrac{1}{a}=-\dfrac{1}{\beta}$: > $\int e^{-\beta s}\,\mathrm{d}s=-\dfrac{1}{\beta}e^{-\beta s}+C$ > 验证(对结果求导应还原成被积函数):$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\!\left(-\dfrac{1}{\beta}e^{-\beta s}\right)=-\dfrac{1}{\beta}\cdot(-\beta)e^{-\beta s}=e^{-\beta s}$。对上了。 > > 例二 $\int e^{-\frac12\beta s}\,\mathrm{d}s$。系数 $a=-\tfrac12\beta$,前面乘 $\dfrac{1}{a}=-\dfrac{2}{\beta}$(分母里的 $\tfrac12$ 翻上来变 $2$,负号保留): > $\int e^{-\frac12\beta s}\,\mathrm{d}s=-\dfrac{2}{\beta}e^{-\frac12\beta s}+C$ > 验证:$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\!\left(-\dfrac{2}{\beta}e^{-\frac12\beta s}\right)=-\dfrac{2}{\beta}\cdot\left(-\tfrac12\beta\right)e^{-\frac12\beta s}=e^{-\frac12\beta s}$。对上了。 > [!note]- 这个 $\dfrac{1}{a}$ 是怎么来的(猜一个、求导验证、调系数) > 目标:找一个函数,导数是 $e^{as}$。先猜 $e^{as}$ 本身,对它求导,链式法则,内层是 $as$: > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}e^{as}=e^{as}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(as)=e^{as}\cdot a=a\,e^{as}$ > 比目标多乘了一个 $a$。要去掉它,前面乘 $\dfrac{1}{a}$。验证: > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\!\left(\dfrac{1}{a}e^{as}\right)=\dfrac{1}{a}\cdot a\,e^{as}=e^{as}$ > 正好是目标。所以 $\int e^{as}\,\mathrm{d}s=\dfrac{1}{a}e^{as}+C$。 > [!abstract] 六、加上下限:从原函数到一个值 > 前面求出来的都是原函数,一个还带着变量 $s$ 的函数。给积分号加上下限,它就变成一个数。对照: > > 不写上下限(求原函数,$s$ 留在答案里): > $\int 2s\,\mathrm{d}s=s^2+C$ > 写上下限(从 $0$ 累到 $t$ 的总量,是一个值,$s$ 不在答案里): > $\int_0^t 2s\,\mathrm{d}s=t^2$ > > $s$ 和 $t$ 各是谁。 $s$ 是积分变量($\mathrm{d}s$ 指定的),从 $0$ 一路取到 $t$,加完之后不出现在答案里。$t$ 是上限、是累加停下的终点,会留在答案里。两种写法都是对 $s$ 积分,区别只在有没有上下限。 > > 一眼判断。 看结果里还有没有 $s$:还有 $s$ → 是原函数(一个函数);没有 $s$、只剩上限 → 是一个值。 > > (定积分不带 $+C$:算的时候上限减下限,$+C$ 一减就抵消了,所以省掉。) > [!abstract] 七、带上下限怎么算成那个值 > 两步:先找原函数 $F(s)$,再用上限处的值减下限处的值: > $\int_a^b f(s)\,\mathrm{d}s=F(b)-F(a)$ > 中间常写成 $\big[F(s)\big]_a^b$,就是 $F(b)-F(a)$ 的简写。 > 走一个,$\int_0^t 2s\,\mathrm{d}s$:$2s$ 的原函数是 $s^2$,代上限 $t$、下限 $0$ 相减: > $\int_0^t 2s\,\mathrm{d}s=\big[s^2\big]_0^t=t^2-0^2=t^2$ > 再走一个,$\int_0^t s\,\mathrm{d}s$:$s$ 的原函数是 $\tfrac12 s^2$: > $\int_0^t s\,\mathrm{d}s=\Big[\tfrac12 s^2\Big]_0^t=\tfrac12 t^2-0=\tfrac12 t^2$ > 代的时候,原函数里的 $s$ 被上限、下限换掉,$s$ 就没了,剩下只跟 $t$ 有关的那个数。 > [!abstract] 八、反过来:对一个积分求导 > 求导和积分是正反一对。所以对一个积分求导,直接得到积分号里那个函数本身: > $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_0^t f(s)\,\mathrm{d}s=f(t)$ > 里面用 $s$ 从 $0$ 累到 $t$,求导是对上限 $t$ 求,结果是把 $f$ 在 $t$ 处取值,得 $f(t)$。 > > 为什么是 $f(t)$。 $\int_0^t f(s)\,\mathrm{d}s$ 是从 $0$ 累到 $t$ 的总量。对它求导,问的是 $t$ 再往后挪一点点、这个总量长得有多快。$t$ 这一刻正往总量里加的那一份就是 $f(t)$,所以总量在 $t$ 处的增长速度正好是 $f(t)$。增长速度就是导数,所以求导结果是 $f(t)$。 > > 验一个。 取 $f(s)=2s$。先算积分:$\int_0^t 2s\,\mathrm{d}s=t^2$。再对 $t$ 求导:$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}t^2=2t$。规则说结果该是 $f(t)$,把 $f(s)=2s$ 的 $s$ 换成 $t$ 得 $f(t)=2t$。两边都是 $2t$,对上了。 > [!question]- 练习甲(幂、常数、定积分、对积分求导) > 一,$\int s^2\,\mathrm{d}s$。没有上下限,求原函数。 > 二,$\int_0^t 2s\,\mathrm{d}s$。有上下限,算出这个值。 > 三,$\int_0^t s^2\,\mathrm{d}s$。有上下限,算出这个值。 > 四,$\int_0^t s\,\mathrm{d}s$。直接写出它对 $t$ 的导数,不用先把积分算出来。 > [!note]- 练习甲答案 > 一,找导数等于 $s^2$ 的,升一阶到 $s^3$、除以 $3$,得 $\tfrac13 s^3+C$。 > 二,$2s$ 的原函数是 $s^2$,$\big[s^2\big]_0^t=t^2-0=t^2$。 > 三,$s^2$ 的原函数是 $\tfrac13 s^3$,$\big[\tfrac13 s^3\big]_0^t=\tfrac13 t^3-0=\tfrac13 t^3$。 > 四,对积分求导直接得被积函数 $s$ 在上限 $t$ 处的值,就是 $t$。(也可先算积分 $\tfrac12 t^2$,再求导得 $t$,一致。) > [!question]- 练习乙(指数函数,按例一例二写,每道都求导验证) > 一,$\int e^{2x}\,\mathrm{d}x$ > 二,$\int e^{-x}\,\mathrm{d}x$ > 三,$\int e^{\beta t}\,\mathrm{d}t$ > 四,$\int e^{-2\beta t}\,\mathrm{d}t$ > 五,$\int e^{\frac13 t}\,\mathrm{d}t$ > [!note]- 练习乙答案 > 第一题,$a=2$:$\int e^{2x}\,\mathrm{d}x=\tfrac12 e^{2x}+C$。验证 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left(\tfrac12 e^{2x}\right)=\tfrac12\cdot 2\,e^{2x}=e^{2x}$。 > 第二题,$a=-1$:$\int e^{-x}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{-1}e^{-x}+C=-e^{-x}+C$。验证 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left(-e^{-x}\right)=-(-1)e^{-x}=e^{-x}$。 > 第三题,$a=\beta$:$\int e^{\beta t}\,\mathrm{d}t=\dfrac{1}{\beta}e^{\beta t}+C$。验证 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(\dfrac{1}{\beta}e^{\beta t}\right)=\dfrac{1}{\beta}\cdot\beta\,e^{\beta t}=e^{\beta t}$。 > 第四题,$a=-2\beta$:$\int e^{-2\beta t}\,\mathrm{d}t=\dfrac{1}{-2\beta}e^{-2\beta t}+C=-\dfrac{1}{2\beta}e^{-2\beta t}+C$。验证 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(-\dfrac{1}{2\beta}e^{-2\beta t}\right)=-\dfrac{1}{2\beta}\cdot(-2\beta)e^{-2\beta t}=e^{-2\beta t}$。 > 第五题,$a=\tfrac13$:$\int e^{\frac13 t}\,\mathrm{d}t=\dfrac{1}{\frac13}e^{\frac13 t}+C=3\,e^{\frac13 t}+C$。验证 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(3\,e^{\frac13 t}\right)=3\cdot\tfrac13 e^{\frac13 t}=e^{\frac13 t}$。 > [!note]- 收尾:积分与求导是互逆的 > 核心:积分和求导是一对互逆操作,积出来再求导,一定转回被积函数。 > 例:$\int_0^t 2s\,\mathrm{d}s=t^2$,再求导 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}t^2=2t$,转回被积函数 $2s$。 > > 四种题型的区别: > - 只有积分这一个动作 → 停在积分结果,不回到被积函数。 > - $\int s^2\,\mathrm{d}s=\tfrac13 s^3$(无上下限,求原函数) > - $\int_0^t 2s\,\mathrm{d}s=t^2$(有上下限,算出值) > - $\int_0^t s^2\,\mathrm{d}s=\tfrac13 t^3$(有上下限,算出值) > - 积分 + 求导两个动作 → 求导把积分抵消,转回被积函数。 > - $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_0^t s\,\mathrm{d}s=t$(回到被积函数 $s$) > > 关键:得到被积函数靠的是「求导」这个动作,光积分不会回去。给前面几题也加上 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$,照样转回被积函数。