# 一阶近似为什么会「撞车」 前面学了一阶线性近似 $f(x)\approx f(0)+f'(0)\,x$。做练习时会撞见一件怪事:$e^{-x}$ 和 $\dfrac{1}{1+x}$,两个长得不一样的函数,在 0 附近的一阶近似居然都是 $1-x$。不是凑巧,背后的道理能反复用,记下来。 > [!abstract] 一句话结论 > **一阶近似只看基点的两样东西:高度 $f(0)$ 和斜率 $f'(0)$。两个函数这两样一样,一阶近似就是同一条直线。** > [!note] 验证:两个函数在 0 点确实高度、斜率都一样 > $e^{-x}$:$f(0)=1$,$f'(0)=-1$。 > $\dfrac{1}{1+x}$:$f(0)=1$,$f'(0)=-1$。 > (两个的求导过程都在「一阶线性近似」那篇的练习里。) > 高度都是 $1$、斜率都是 $-1$,那条切线就是同一条 $1-x$。一阶近似抄的就是这条切线。 > [!abstract] 关键:符合的函数有一大批 > 一阶近似太粗——它只认 $f(0)=1$、$f'(0)=-1$ 这两个条件。满足这两条的函数要多少有多少,无穷多个,全被一阶近似压成同一条 $1-x$。$e^{-x}$ 和 $\dfrac{1}{1+x}$ 只是其中恰好撞上的两个。 > **所以「撞车」的真正来源:不是它们本质相同,而是一阶近似太粗,把区别抹掉了。** > [!abstract] 顺带:它俩还真有根线连着 > $e^{-x}=\frac{1}{e^{x}},\qquad e^{x}\approx 1+x\;\Rightarrow\;e^{-x}\approx\frac{1}{1+x}$ > $e^{-x}$ 本来就是 $\dfrac{1}{e^x}$,而 $e^x$ 在 0 附近约等于 $1+x$,代进分母正好是 $1+x$。所以这两个函数在 0 附近本来就互为近似。 > [!note] 二阶就露馅 > 把后面的项也写出来(展开的来历是后面泰勒展开的事,这里先借用结论): > $e^{-x}=1-x+\tfrac12x^{2}-\cdots$ > $\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-\cdots$ > 一阶项 $-x$ 一模一样,但二阶项一个是 $\tfrac12x^{2}$、一个是 $x^{2}$,差了一倍。 > 画出来就是:两条曲线在 $(0,1)$ 处贴着同一条切线 $1-x$「亲了一下」,离开 0 之后 $\dfrac{1}{1+x}$ 翘得更猛,慢慢就掰开了。离 0 越远,差得越多。**想把这一大批函数区分开,得请出二阶导数(二阶近似),那是泰勒展开的活儿。** > [!note]- 一句话记住 > 一阶只看「站在哪、往哪斜」(高度 + 斜率)。这两样一样,一阶就一样;想看出区别,得往二阶看「怎么弯」。