# 乘积法则与提公因子
**链式法则处理「套」:一个外层套着一个里面,像 $\sqrt{1-u}$。乘积法则处理「乘」:两块东西相乘,像 $x\cdot e^x$。**两种结构不同,别混。
> [!abstract] 乘积法则
> 两块相乘求导,是两项相加:
> 第一项,第一块求导、第二块不动。
> 第二项,第一块不动、第二块求导。
> [!note]- 为什么是两项
> 把乘积想成一个长方形的面积,两条边分别是这两块。两块各自变化一点点时,面积的增量来自两部分:一部分是第一块变、第二块不变贡献的,另一部分是第二块变、第一块不变贡献的。两部分相加,就是两项。
⚠️ 两块相乘的导数,不是两块的导数直接相乘。$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x\,e^{x})\neq 1\cdot e^{x}$。**必须是两项相加,导数轮流落在每一块上,另一块不动。**
> [!abstract] 例一,$x\cdot e^x$ 的导数
> $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x\,e^{x})$
> 乘积法则,两项相加,第一项第一块求导、第二块不动,第二项第一块不动、第二块求导:
> $=\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x\right)e^{x}+x\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{x}\right)$
> 第一项里 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x=1$:
> $=1\cdot e^{x}+x\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{x}\right)$
> 第二项里 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{x}=e^{x}$:
> $=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}$
> 化简:
> $=e^{x}+x\,e^{x}$
> 提公因子 $e^{x}$:
> $=e^{x}(1+x)$
> [!abstract] 例二,$t\cdot e^{-\beta t}$ 的导数(乘里带套)
> $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t\,e^{-\beta t})$
> 乘积法则,两项相加:
> $=\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}t\right)e^{-\beta t}+t\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{-\beta t}\right)$
> 第一项里 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}t=1$:
> $=1\cdot e^{-\beta t}+t\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{-\beta t}\right)$
> 第二项里 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{-\beta t}=-\beta e^{-\beta t}$(链式法则,见 03):
> $=1\cdot e^{-\beta t}+t\cdot(-\beta e^{-\beta t})$
> 化简:
> $=e^{-\beta t}-\beta t\,e^{-\beta t}$
> 提公因子 $e^{-\beta t}$:
> $=e^{-\beta t}(1-\beta t)$
> [!question]- 练习两道
> 一,$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}\,e^{x})$
> 二,$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t\,e^{-\frac12\beta t})$
> [!note]- 练习答案
> 第一题
> $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}\,e^{x})$
> 乘积法则,两项相加:
> $=\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{2}\right)e^{x}+x^{2}\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{x}\right)$
> 第一项里 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{2}=2x$(幂法则):
> $=2x\cdot e^{x}+x^{2}\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{x}\right)$
> 第二项里 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{x}=e^{x}$:
> $=2x\cdot e^{x}+x^{2}\cdot e^{x}$
> 提公因子 $x\,e^{x}$:
> $=x\,e^{x}(2+x)$
> 第二题
> $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t\,e^{-\frac12\beta t})$
> 乘积法则,两项相加:
> $=\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}t\right)e^{-\frac12\beta t}+t\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{-\frac12\beta t}\right)$
> 第一项里 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}t=1$:
> $=1\cdot e^{-\frac12\beta t}+t\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{-\frac12\beta t}\right)$
> 第二项里 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{-\frac12\beta t}=-\tfrac12\beta e^{-\frac12\beta t}$(链式法则,见 03):
> $=1\cdot e^{-\frac12\beta t}+t\cdot\left(-\tfrac12\beta e^{-\frac12\beta t}\right)$
> 提公因子 $e^{-\frac12\beta t}$:
> $=e^{-\frac12\beta t}\left(1-\tfrac12\beta t\right)$
> [!note]- 提公因子套路
> 提公因子是分配律倒着用:
> $k\cdot a+k\cdot b=k\,(a+b)$
> ① 找出每项都有的公因子 $k$。
> ② 每项划掉 $k$,看剩什么。项里有套括号的,先摊平成一串纯乘法再划。
> ③ 写成 $k$ 乘(各项剩下的,按原来的加号连起来)。
> 例,合并这两项:
> $1\cdot e^{-\frac12\beta t}+t\cdot\left(-\tfrac12\beta\,e^{-\frac12\beta t}\right)$
> ① 公因子 $k=e^{-\frac12\beta t}$,两项都有。
> ② 第一项划掉 $k$ 剩 $1$;第二项摊平成 $t\cdot\left(-\tfrac12\beta\right)\cdot e^{-\frac12\beta t}$,划掉 $k$ 剩 $t\cdot\left(-\tfrac12\beta\right)=-\tfrac12\beta t$。
> ③ 写成 $k$ 乘(剩下相加):
> $=e^{-\frac12\beta t}\left(1+\left(-\tfrac12\beta t\right)\right)=e^{-\frac12\beta t}\left(1-\tfrac12\beta t\right)$