# 指数与对数的导数 前面会了开方、平方两个外层。**这里再加两个:指数 $e^x$、对数 $\ln x$。** > [!abstract] 两个新导数 > $e^x$ 的导数还是它自己 > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,e^{x}=e^{x}$ > $\ln x$ 的导数是 $\dfrac{1}{x}$ > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,\ln x=\dfrac{1}{x}$ > [!note]- 为什么 $e^x$ 的导数是它自己 > $e$ 这个数(约 2.718)就是被这条性质挑出来的:$e^{x}$ 在每一点的斜率,正好等于它在那一点的高度。求导后形状不变,还是 $e^{x}$。 > [!note]- 为什么 $\ln x$ 的导数是 $1/x$ > 用恒等式 $e^{\ln x}=x$ 来推,这就是 $\ln x$ 的定义:$\ln x$ 是把 $e$ 升到几次方能得到 $x$ 的那个次数。 > $e^{\ln x}=x$ > 两边对 $x$ 求导: > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{\ln x}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x$ > 右边 $x$ 对 $x$ 求导是 $1$: > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{\ln x}=1$ > 左边用链式法则,内层 $\ln x$ 写进分母,后面乘内层对 $x$ 的导数;$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x$ 是要求的东西,先留着不算: > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(\ln x)}e^{\ln x}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=1$ > 外层,$e$ 对它的指数 $\ln x$ 求导还是它自己: > $e^{\ln x}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=1$ > 代入定义 $e^{\ln x}=x$,把左边的 $e^{\ln x}$ 换成 $x$: > $x\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=1$ > 两边同除以 $x$: > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\dfrac{1}{x}$ 下面对 $t$ 求导,$\beta$ 是常数(参数),$t$ 才是变量。 ⚠️ **$e$ 求导后还是它自己,外层这块不变;但链式法则照常,后面还要乘内层的导数,正是这个乘项让结果跟原式不同。** > [!abstract] $e^{-\frac12\beta t}$ 求导 > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{-\frac12\beta t}$ > 链式法则,内层是指数 $-\frac12\beta t$,写进分母,后面乘内层对 $t$ 的导数: > $=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\left(-\frac12\beta t\right)}e^{-\frac12\beta t}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-\tfrac12\beta t\right)$ > 外层,$e$ 对它的指数求导还是它自己: > $=e^{-\frac12\beta t}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-\tfrac12\beta t\right)$ > 内层,$-\frac12\beta$ 是常系数、$t$ 导数 1,得 $-\frac12\beta$: > $=e^{-\frac12\beta t}\cdot\left(-\tfrac12\beta\right)$ > 把常数挪到前面: > $=-\tfrac12\beta\,e^{-\frac12\beta t}$ > [!question]- 练习两道 > 一,$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,e^{-\beta t}$ > 二,$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\,\ln(1+u)$ > [!note]- 练习答案 > 第一题 > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{-\beta t}$ > 链式法则,内层是指数 $-\beta t$,写进分母,后面乘内层对 $t$ 的导数: > $=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(-\beta t)}e^{-\beta t}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(-\beta t)$ > 外层,$e$ 对它的指数求导还是它自己: > $=e^{-\beta t}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(-\beta t)$ > 内层,$-\beta$ 常系数、$t$ 导数 1,得 $-\beta$: > $=e^{-\beta t}\cdot(-\beta)$ > 把常数挪到前面: > $=-\beta\,e^{-\beta t}$ > 第二题 > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\ln(1+u)$ > 链式法则,内层 $1+u$ 写进分母,后面乘内层对 $u$ 的导数: > $=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(1+u)}\ln(1+u)\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1+u)$ > 外层,$\ln$ 对 $1+u$ 求导是 $\dfrac{1}{1+u}$: > $=\dfrac{1}{1+u}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1+u)$ > 内层,$1$ 导数 0、$u$ 导数 1,得 1: > $=\dfrac{1}{1+u}\cdot 1$ > 乘出来: > $=\dfrac{1}{1+u}$