# 链式法则 $\sqrt{1-u}$ 是「根号里套着一团 $1-u$」,**这种外层套内层的复合式子,求导用链式法则**。 > [!abstract] 这一课用到的导数 > 常数的导数是 0 > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\,c=0$ > 变量自己的导数是 1 > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\,u=1$ > 幂法则(见 01) > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,x^{n}=n\,x^{\,n-1}$ > 开方(见 01,就是幂法则 $n=\tfrac12$ 的结果) > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ > 求和差时逐项分别求导,常系数提在外面。 链式法则的写法:对外层套内层的式子求导,拆成两块相乘。**第一块,外层对内层求导,内层整个写进分母。第二块,内层对 $u$ 求导。**内层要是还套着东西,对它再拆一次。两块分别算出来。 > [!abstract] 例一,$\sqrt{1-u}$ 求导 > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\sqrt{1-u}$ > 链式法则,内层 $1-u$ 写进分母,后面乘内层对 $u$ 的导数: > $=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(1-u)}\sqrt{1-u}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1-u)$ > 外层,开方对 $1-u$ 求导是 $\dfrac{1}{2\sqrt{1-u}}$: > $=\dfrac{1}{2\sqrt{1-u}}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1-u)$ > 内层,$1$ 导数 0、$-u$ 导数 $-1$,合起来 $-1$: > $=\dfrac{1}{2\sqrt{1-u}}\cdot(-1)$ > 乘出来: > $=-\dfrac{1}{2\sqrt{1-u}}$ > [!abstract] 例二,$\sqrt{1-u^{2}}$ 求导(内层带平方) > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\sqrt{1-u^{2}}$ > 链式法则,内层 $1-u^{2}$ 写进分母,后面乘内层对 $u$ 的导数: > $=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(1-u^{2})}\sqrt{1-u^{2}}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1-u^{2})$ > 外层,开方对 $1-u^{2}$ 求导是 $\dfrac{1}{2\sqrt{1-u^{2}}}$: > $=\dfrac{1}{2\sqrt{1-u^{2}}}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1-u^{2})$ > 内层,$1$ 导数 0、$u^{2}$ 导数 $2u$(幂法则)、带负号 $-2u$: > $=\dfrac{1}{2\sqrt{1-u^{2}}}\cdot(-2u)$ > 乘成一个分数: > $=\dfrac{-2u}{2\sqrt{1-u^{2}}}$ > 上下的 2 约掉: > $=-\dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}$ > [!question]- 练习两道 > 一,$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1-u)^{3}$ > 二,$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\sqrt{1+2u}$ > [!note]- 练习答案 > 第一题 > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1-u)^{3}$ > 链式法则,内层 $1-u$ 写进分母,后面乘内层对 $u$ 的导数: > $=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(1-u)}(1-u)^{3}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1-u)$ > 外层,立方对 $1-u$ 求导是 $3(1-u)^{2}$(幂法则): > $=3(1-u)^{2}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1-u)$ > 内层,$1$ 导数 0、$-u$ 导数 $-1$,得 $-1$: > $=3(1-u)^{2}\cdot(-1)$ > 乘出来: > $=-3(1-u)^{2}$ > 第二题 > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\sqrt{1+2u}$ > 链式法则,内层 $1+2u$ 写进分母,后面乘内层对 $u$ 的导数: > $=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(1+2u)}\sqrt{1+2u}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1+2u)$ > 外层,开方对 $1+2u$ 求导是 $\dfrac{1}{2\sqrt{1+2u}}$: > $=\dfrac{1}{2\sqrt{1+2u}}\cdot\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1+2u)$ > 内层,$1$ 导数 0、$2u$ 导数 2,得 2: > $=\dfrac{1}{2\sqrt{1+2u}}\cdot 2$ > 乘成一个分数: > $=\dfrac{2}{2\sqrt{1+2u}}$ > 上下的 2 约掉: > $=\dfrac{1}{\sqrt{1+2u}}$