# 幂法则与 $\sqrt{x}$ 的导数 你已经会一些零散的求导,比如 $x^2$ 求导得 $2x$,$x^3$ 得 $3x^2$。**这一课把它们收进一条对任意指数都成立的规则,再用它求 $\sqrt{x}$ 的导数**($\sqrt{1-u}$ 的一半,另一半是下一课的链式法则)。 > [!abstract] 幂法则 > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,x^{n}=n\,x^{\,n-1}$ > 读法:把指数 $n$ 拿到前面当系数,指数本身减 $1$。$n$ 可以是整数,也可以是负数或分数,下面正要用到分数的情形。 > [!note]- 用已会的例子核对幂法则 > $n=2$: > $2\,x^{2-1}=2\,x^{1}=2x$ > $n=3$: > $3\,x^{3-1}=3\,x^{2}$ > 和你记得的结果一致。 **幂法则只认 $x^{n}$ 这种写法,所以求 $\sqrt{x}$ 的导数之前,先把根号和倒数翻译成指数。** > [!abstract] 两条指数记号等价 > 分数指数,根号就是指数 $\tfrac12$ > $\sqrt{x}=x^{1/2}$ > 负指数,挪到分母上、指数变正 > $x^{-n}=\dfrac{1}{x^{n}}$ > 两条合用 > $x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ > [!note]- 两条等价怎么合出 $x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ > $x^{-1/2}$ > 用负指数等价挪到分母,指数从 $-\tfrac12$ 翻成 $+\tfrac12$: > $=\dfrac{1}{x^{1/2}}$ > 用分数指数等价把 $x^{1/2}$ 写回根号: > $=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ 有了规则和翻译,下面求 $\sqrt{x}$ 的导数。 > [!abstract] $\sqrt{x}$ 的导数 > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ > [!note]- $\sqrt{x}$ 导数的推导 > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}$ > 先把根号写成指数,幂法则才认这种写法: > $=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,x^{1/2}$ > 套幂法则,$n=\tfrac12$,指数拿到前面当系数,指数减 1: > $=\tfrac12\,x^{\frac12-1}$ > 算指数,$\tfrac12-1=-\tfrac12$: > $=\tfrac12\,x^{-1/2}$ > 把 $x^{-1/2}$ 写回根号,$x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$: > $=\tfrac12\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ > 乘出来: > $=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ > [!question]- 练习两道 > 一,用幂法则求 $x^{3}$ 的导数。 > 二,求 $\dfrac{1}{x}$ 的导数,提示:先写成 $x^{-1}$,再套幂法则。 > [!note]- 练习答案 > 第一题,套幂法则 $n=3$,指数拿前面、指数 $3-1=2$: > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,x^{3}=3\,x^{2}$ > 第二题,先把倒数写成负指数: > $\dfrac{1}{x}=x^{-1}$ > 套幂法则,$n=-1$,指数 $-1$ 拿前面当系数,指数 $-1-1=-2$: > $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,x^{-1}=-1\cdot x^{-2}$ > 负指数写回分数,$x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}$,前面的 $-1$ 是负号: > $=-\dfrac{1}{x^{2}}$