# 扩散数学课表 目标:看懂 score-based / SDE 视角的扩散(Song 2021,arXiv:2011.13456)。**够用边界,只学到能读懂为止。** 进度:100%(五块全部完成,接下来去读论文、卡哪补哪)。 > [!note] 边界说明(够用边界,先说清) > 这条课表瞄的是「读懂方程、懂它的意思」,不是从测度论零推每条定理。 > 1. 反向 SDE(Anderson 1982)、概率流 ODE(来自 Fokker-Planck)按「接受 + 理解」处理,那篇自己也是当现成结果引用的。 > 2. 两样在课表外,看要钻多深:散度 $\nabla\cdot f$(只在算精确似然 / 用概率流 ODE 反推密度时要)、Fokker-Planck 方程(只在想自己推反向 SDE 时要)。都是可选加餐,到那儿再说。 > 3. 第 4 块是真山头,全新内容,确实最吃时间。 --- ## 第 1 块 · 单变量微积分(地基)✅ 权重 ~30% - [ ] [[01_幂法则与根号x的导数]] - [ ] [[02_链式法则]] - [ ] [[03_指数与对数的导数]] - [ ] [[04_乘积法则与提公因子]] - [ ] [[05_一阶线性近似]] - [ ] [[06_积分基础]] ## 第 2 块 · 概率 ✅ 权重 ~25% - [ ] [[07_期望]] - [ ] [[08_方差]] - [ ] [[09_高斯分布]] - [ ] [[10_重参数化]](均值 / 方差已在 07、08 顺带推过) - [ ] [[11_条件期望与条件方差]] 用处:$q(x_t\mid x_0)$、前向加噪、重参数化采样。 ## 第 3 块 · 一阶线性 ODE ✅ 权重 ~10% - [ ] [[12_一阶线性ODE]](形式与常系数解 $\dfrac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}=am$) - [ ] [[13_变系数一阶线性ODE]](变系数 $\dfrac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}=a(t)\,m$ 与 VP 均值 $\sqrt{\bar\alpha}(t)\,x_0$) - [ ] [[14_积分因子解一阶线性ODE]](带外加项的一般线性 ODE,推出噪声那半 $\sqrt{1-\bar\alpha}$) 用处:VP 过程的均值、方差怎么演化;直接踩第 1 块的 $\int e^{ax}$。 ## 第 4 块 · 随机微积分核心(硬骨头,全新)✅ 权重 ~25% - [ ] [[15_布朗运动]]($w_t$,累计标准噪声,$w_t\sim\mathcal N(0,t)$,$\mathrm{d}w$ 大小 $\sqrt{\mathrm{d}t}$) - [ ] [[16_从ODE到SDE]](ODE 是 SDE 取均值/方差的侧影;SDE 是单样本逐步轨迹;难点在噪声项) - [ ] [[17_Itô引理]](伊藤是链式法则的强化版,$x$ 抖着走时 $(\mathrm{d}w)^2=\mathrm{d}t$ 不为零,比普通求导多一个修正项) - [ ] [[18_SDE的形式]](把 DDPM 单步变形成 VP SDE,读出 $f=-\tfrac12\beta(t)x$、$g=\sqrt{\beta(t)}$) 用处:扩散的连续时间写法,从「会算」到「看懂 SDE」的分水岭。 ## 第 5 块 · 梯度直觉 ✅ 权重 ~10% - [ ] [[19_梯度的方向]]($\nabla$ 是指向「涨最快」的箭头;$-\nabla$ 跌最快) - [ ] [[20_score的直觉]](score $\nabla\log p$ 是指向「更像真实数据」的箭头,反向去噪的指南针) 用处:score matching、反向 SDE 里的 $\nabla\log p_t(x)$。 --- ## 全部学完,下一步 数学零件齐了。**接下来不再学新数学,去翻 Song 2021,带着这套零件读那些方程。**读到卡住的某一处,回来补那一处。你已经能认出论文里的 SDE、$\mathrm{d}w$、伊藤、$\nabla\log p$ 了,这就是这门课的目标。