来源：Song、Meng、Ermon，2020，arXiv 2010.02502 v4，ICLR 2021。公式号与论文一致。符号约定与常用公式卡见本单元 00_导读。
这一节讲：§7 把生成规则写成可执行的采样一步（公式 12），转动 $\sigma$ 点出两个名场面，拧到 $\tilde\beta_t$ 还原 DDPM、拧到 0 得确定性 DDIM；§8 抽稀成子序列跳步，$\eta$（公式 16）统一控制随机量，几十步出图。
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## §7 统一采样公式与两个特例（论文 4.1）
**这一步**：训练侧锁死了，开始收采样侧的果实。把公式 10 写成可执行的采样一步（公式 12，见公式卡），然后转动 $\sigma$ 旋钮，点出两个名场面。
**结论**：采样一步 = 预测的干净图 + 指向 $x_t$ 的方向项 + 新噪声，三块结构；$\sigma_t^2$ 拧到 $\tilde\beta_t$ 一字不差还原 DDPM，拧到 0 随机项消失，就是 DDIM。同一个网络，换 $\sigma$ 就换一套生成过程，无需重训。
> [!note]- 推导：从公式 10 + 7 拼出公式 12
> 公式 7 的均值（后验中心）：
> $\mu = \sqrt{\alpha_{t-1}}\,x_0 + \sqrt{1-\alpha_{t-1}-\sigma_t^2}\cdot\frac{x_t-\sqrt{\alpha_t}\,x_0}{\sqrt{1-\alpha_t}}$
> 那个"丑分数"其实就是噪声（由 $x_t=\sqrt{\alpha_t}x_0+\sqrt{1-\alpha_t}\,\epsilon$ 反解）：
> $\frac{x_t-\sqrt{\alpha_t}\,x_0}{\sqrt{1-\alpha_t}}=\epsilon$
> 采样时 $x_0$ 未知，用网络预测 $f_\theta$（公式 9）替换 $x_0$，那个噪声随之变成 $\epsilon_\theta$：
> $x_0\ \to\ f_\theta^{(t)}(x_t)=\frac{x_t-\sqrt{1-\alpha_t}\,\epsilon_\theta}{\sqrt{\alpha_t}}$
> $\frac{x_t-\sqrt{\alpha_t}\,x_0}{\sqrt{1-\alpha_t}}\ \to\ \epsilon_\theta^{(t)}(x_t)$
> 代回，均值变成：
> $\mu = \sqrt{\alpha_{t-1}}\,f_\theta^{(t)}(x_t) + \sqrt{1-\alpha_{t-1}-\sigma_t^2}\cdot\epsilon_\theta^{(t)}(x_t)$
> 从这个均值、标准差 $\sigma_t$ 的高斯抽一步（均值 + 随机抖动 $\sigma_t\epsilon_t$）：
> $x_{t-1} = \underbrace{\sqrt{\alpha_{t-1}}\,f_\theta^{(t)}(x_t)}_{\text{① 指向预测原图}} + \underbrace{\sqrt{1-\alpha_{t-1}-\sigma_t^2}\,\epsilon_\theta^{(t)}(x_t)}_{\text{② 指向 }x_t\text{ 方向}} + \underbrace{\sigma_t\epsilon_t}_{\text{③ 注入新噪声}}$
> 把 $f_\theta$ 按公式 9 展开，即论文完整的公式 12：
> $x_{t-1} = \sqrt{\alpha_{t-1}}\,\frac{x_t-\sqrt{1-\alpha_t}\,\epsilon_\theta}{\sqrt{\alpha_t}} + \sqrt{1-\alpha_{t-1}-\sigma_t^2}\,\epsilon_\theta + \sigma_t\epsilon_t$
> [!note]- 视角：特例一，转动旋钮还原 DDPM (对账)
> $\sigma_t$ 是我们造出来的控制“新噪声注入量”的旋钮。
>
> 把它拧到 $\sigma_t^2 = \frac{1-\alpha_{t-1}}{1-\alpha_t}\beta_t$（这正好等于 DDPM 原本的后验方差 $\tilde\beta_t$），公式 12 的均值随之化简，一字不差地还原成 DDPM 的标准采样公式。
>
> **注意：$\tilde\beta_t$ 不是上限，只是中间值。** 合法区间是 $\sigma_t^2\in[\,0,\ 1-\alpha_{t-1}\,]$，三个位置对照记：
> - $\sigma_t^2 = 0$：确定性，DDIM（旧噪声全保留）
> - $\sigma_t^2 = \tilde\beta_t$：DDPM（中间档）
> - $\sigma_t^2 = 1-\alpha_{t-1}$：新噪声拉满、彻底忘掉 $x_t$（§3 的第三种情况，这才是上限）
> [!note]- 视角：特例二，旋钮归零，DDIM 登场！
> 如果我们走向另一个极端，把旋钮彻底关掉：**令 $\sigma_t = 0$**。
>
> 此时公式 12 最后的随机项 $\sigma_t \epsilon_t$ 彻底消失。
> **直觉含义：** 整个采样过程**完全没有掷骰子的环节了**！只要你一开始给定的纯噪声图 $x_T$ 是固定的，这 1000 步怎么退回 $x_0$ 就像火车跑在铁轨上一样，轨迹是 100% 确定的。同一个纯噪声，永远生成同一张清晰的图。
>
> 这种不包含显式随机变量映射的模型，在数学上被称为**隐式模型 (Implicit Models)**，这也是 DD**I**M 名字里那个 **I** 的由来。
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## §8 跳步加速（论文 4.2 + 附录 C.1）
**这一步**：训练只要求边缘固定，那干脆只在一个子序列的时刻上定义过程，生成时只走子序列，几十步出图。
**结论**：取 $\tau$ 为 $[1,\dots,T]$ 的长度 $S$ 递增子序列（$\tau_S=T$，如 $T=1000,S=50$）。采样用一个标量 $\eta\ge0$ 统一控制 $\sigma$：$\eta=1$ 即 DDPM（子序列版），$\eta=0$ 即 DDIM，中间值连续插值。
> [!abstract] 公式 16 · 用 η 统一控制 σ
> $\sigma_{\tau_i}(\eta) = \eta\sqrt{\frac{1-\alpha_{\tau_{i-1}}}{1-\alpha_{\tau_i}}}\sqrt{1-\frac{\alpha_{\tau_i}}{\alpha_{\tau_{i-1}}}}$
> [!note]- 读公式 16：两个因子各是什么、为什么乘起来正好是 $\sqrt{\tilde\beta}$
> $\tau_i$ 是子序列里第 $i$ 个时间步，$\tau_{i-1}$ 是前一个（更干净）的步。
>
> **记号陷阱:** 公式里的 $\alpha$ 是累积积 $\bar\alpha$(代码里 `alpha_bars`),不是单步 `alphas`。
>
> **两个因子**
> - 左 $\sqrt{\dfrac{1-\alpha_{\tau_{i-1}}}{1-\alpha_{\tau_i}}}$ — 噪声方差比:因为 $x_t=\sqrt{\bar\alpha_t}x_0+\sqrt{1-\bar\alpha_t}\,\varepsilon$,$1-\bar\alpha_t$ 就是第 $t$ 步的噪声方差,所以这是 目标步 ÷ 当前步 的噪声水平比(
lt;1$)。
> - 右 $\sqrt{1-\dfrac{\alpha_{\tau_i}}{\alpha_{\tau_{i-1}}}}$ — 这一跳的等效 $\beta$:$\dfrac{\bar\alpha_{\tau_i}}{\bar\alpha_{\tau_{i-1}}}=\prod_{s=\tau_{i-1}+1}^{\tau_i}\alpha_s$ 是等效单步 $\alpha$,$1-(\cdot)$ 就是这一跳新注入的噪声量。
>
> **关键:相乘 $=\sqrt{\tilde\beta}$**(后验标准差的跳步版)
> $\tilde\beta$ 是 **DDPM 的前向后验方差**——即已知 $x_t,x_0$ 时 $q(x_{t-1}\mid x_t,x_0)$ 的方差,衡量"倒推一步后还剩多少不确定性"。单步形式:
> $
> \tilde\beta_t=\frac{1-\bar\alpha_{t-1}}{1-\bar\alpha_t}\beta_t,\quad \beta_t=1-\frac{\bar\alpha_t}{\bar\alpha_{t-1}}
> $
> 开根号后正好裂成两块,对上上面两个因子:
> $
> \sqrt{\tilde\beta_t}=\sqrt{\frac{1-\bar\alpha_{t-1}}{1-\bar\alpha_t}}\cdot\sqrt{1-\frac{\bar\alpha_t}{\bar\alpha_{t-1}}}
> $
> 左 = 后验方差重加权,右 = 这一跳的 $\beta$。跳步只是把单步 $\beta$ 换成等效 $\beta$,公式骨架不变。
>
> **$\eta$ 的作用**(整体缩放 $\sqrt{\tilde\beta}$)
> - $\eta=0$:$\sigma=0$,纯 DDIM,确定性
> - $\eta=1$:$\sigma=\sqrt{\tilde\beta}$,退化为 DDPM 采样
> - $0<\eta<1$:插值,越大越随机
>
> 少步采样常取 $\eta=0$。
> [!note]- 核心直觉：为什么 DDIM 跳步几乎不掉质，DDPM 一跳就崩？
> 先说清：**跳步（只在子序列 $\tau$ 上采样）两者都能做**——因为一切都按累积量 $\alpha_t$ 索引，$\alpha$ 就是一张预先算好的“时刻表”。想从第 1000 步直接跳到第 950 步，不必算中间那 49 步，查出 $\alpha_{1000}$、$\alpha_{950}$ 代进公式 12 即可。$\eta=1$ 的 DDPM 也有“子序列版”。
>
> 真正的差别在**跳完掉不掉质**：
> - **DDIM（$\eta=0$，确定性）：** 它在解一个 ODE，大步跳 = 大步长欧拉，轨迹基本不偏，所以 50 步、甚至 10–20 步画质都稳。
> - **DDPM（$\eta=1$，随机）：** 每退一步都按 $\sigma$ 注入新噪声；步子迈得越大、跨过的噪声差越大，灌进去的随机噪声越多，轨迹被冲散。所以步数一少就崩（§10 里 $S=10$ 时 FID 飙到 41）。
>
> 一句话：**跳得动，靠累积量查表；跳完还稳，靠 $\eta=0$ 的确定性。**
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## 本节一条线
公式 10+7 拼出采样一步（公式 12：预测原图 + 方向项 + 新噪声三块）；$\sigma_t^2$ 拧到 $\tilde\beta_t$ 一字不差还原 DDPM、拧到 0 随机项消失得确定性 DDIM（名字里的 I）；子序列 $\tau$ 上跳步、$\eta$ 统一控制，跳得动靠累积量查表，跳完还稳靠 $\eta=0$ 的确定性。